Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ các công thức hạ bậc, cách chứng minh, mẹo ghi nhớ và bài tập minh họa giúp bạn dễ dàng áp dụng.

Công thức hạ bậc là gì?

Công thức hạ bậc là nhóm công thức giúp biến đổi các biểu thức chứa bình phương của các hàm lượng giác như sin²x, cos²x, tan²x, cot²x thành biểu thức có chứa góc 2x.

Việc sử dụng Công thức lượng giác hạ bậc giúp rút gọn phép tính, đơn giản hóa biểu thức và giải quyết nhiều dạng toán lượng giác nhanh hơn.

Bảng công thức lượng giác

Tổng hợp Công thức lượng giác hạ bậc đầy đủ

Đây là những Công thức lượng giác hạ bậc quan trọng cần ghi nhớ.

Công thức hạ bậc của sin²x

sin²x = (1 − cos2x) / 2

Biểu thức hạ bậc của cos²x

cos²x = (1 + cos2x) / 2

Biểu thức hạ bậc của tan²x

tan²x = (1 − cos2x) / (1 + cos2x)

Điều kiện: cosx ≠ 0

Công thức lượng giác hạ bậc của cot²x

cot²x = (1 + cos2x) / (1 − cos2x)

Điều kiện: sinx ≠ 0

Công thức tan và cot

Bảng tổng hợp công thức

Chứng minh công thức hạ bậc

Các Công thức lượng giác hạ bậc được suy ra từ công thức góc đôi.

Ta có:

cos2x = 1 − 2sin²x

Chuyển vế:

2sin²x = 1 − cos2x

Suy ra:

sin²x = (1 − cos2x) / 2

Tương tự:

cos2x = 2cos²x − 1

Suy ra:

2cos²x = 1 + cos2x

Hay: cos²x = (1 + cos2x) / 2

Đối với tan²x và cot²x:

tan²x = sin²x / cos²x

cot²x = cos²x / sin²x

Thay công thức của sin²x và cos²x vào sẽ thu được hai Biểu thức hạ bậc tương ứng.

Công thức sin và cos

Cách ghi nhớ Công thức lượng giác hạ bậc

Nhiều học sinh dễ nhầm dấu cộng và dấu trừ trong công thức. Bạn có thể áp dụng một số mẹo sau.

Mẹo 1: Sin đi với dấu trừ

sin²x = (1 − cos2x) / 2

Chỉ cần nhớ:

Sin → Trừ

Mẹo 2: Cos đi với dấu cộng

cos²x = (1 + cos2x) / 2

Chỉ cần nhớ:

Cos → Cộng

Mẹo 3: Học từ công thức góc đôi

Chỉ cần thuộc hai công thức:

cos2x = 1 − 2sin²x

cos2x = 2cos²x − 1

Khi quên Công thức lượng giác hạ bậc, bạn chỉ cần biến đổi là sẽ tìm được kết quả.

Bài tập áp dụng Công thức lượng giác hạ bậc

Bài 1: 

Rút gọn biểu thức: A = 2sin²x

Lời giải

Theo Biểu thức hạ bậc:

2sin²x = 1 − cos2x

Đáp án:

A = 1 − cos2x

Bài 2

Rút gọn: A = 2cos²x − 1

Lời giải

Theo công thức góc đôi:

2cos²x − 1 = cos2x

Đáp án:

A = cos2x

Bài 3

Rút gọn: A = sin²x − cos²x

Lời giải

Thay Biểu thức hạ bậc:

A = (1 − cos2x)/2 − (1 + cos2x)/2

= (1 − cos2x − 1 − cos2x)/2

= −2cos2x/2

= −cos2x

Bài 4

Tính giá trị: sin²30°

Ta có:

sin30° = 1/2

Do đó:

sin²30° = (1/2)² = 1/4

Bài 5: Biết:

cos2x = 3/5

Tính: cos²x

Lời giải

Áp dụng công thức:

cos²x = (1 + cos2x) / 2

Thay số:

cos²x = (1 + 3/5) / 2

= (8/5) / 2 = 4/5

Những lưu ý khi sử dụng Biểu thức hạ bậc

Khi áp dụng Biểu thức hạ bậc, học sinh thường mắc một số lỗi như:

• Nhầm dấu cộng và dấu trừ giữa công thức của sin²x và cos²x.
• Quên điều kiện xác định khi sử dụng công thức của tan²x và cot²x.
• Không rút gọn phân số sau khi thay công thức.
• Áp dụng Biểu thức hạ bậc trong khi bài toán phù hợp hơn với công thức góc đôi hoặc công thức biến đổi tích thành tổng.

Để hạn chế sai sót, bạn nên xác định yêu cầu bài toán trước khi lựa chọn công thức phù hợp.

Câu hỏi thường gặp

Biểu thức hạ bậc dùng để làm gì?

Biểu thức hạ bậc giúp biến đổi bình phương của các hàm lượng giác thành biểu thức chứa góc gấp đôi, từ đó hỗ trợ rút gọn biểu thức, giải phương trình lượng giác và tính tích phân.

Biểu thức hạ bậc của sin²x là gì?

sin²x = (1 − cos2x) / 2

Biểu thức hạ bậc của cos²x là gì?

cos²x = (1 + cos2x) / 2

Làm sao để nhớ nhanh Biểu thức hạ bậc?

Bạn chỉ cần ghi nhớ:

Sin → Dấu trừ

Cos → Dấu cộng

Đồng thời thuộc hai công thức góc đôi:

cos2x = 1 − 2sin²x

cos2x = 2cos²x − 1

Từ đó có thể suy ra các biểu thức hạ bậc khi cần thiết.